Αρχή του Πασκάλ .. Ενας από τους βασικούς νόμους της Υδροστατικής

Η Αρχή του Πασκάλ είναι ένας από τους βασικούς νόμους της Υδροστατικής. Η Αρχή αυτή , καθορίζει ότι η οποιαδήποτε πίεση που τυχόν μπορεί ν΄ ασκηθεί στην επιφάνεια ενός υγρού μεταδίδεται ομοιόμορφα εντός αυτού, προς όλες τις διευθύνσεις και σε όλο το βάθος του.

Αν δηλαδή, σ΄ ένα ανοικτό δοχείο πλήρες υγρού εφαρμόσουμε σε όλη την ελεύθερη επιφάνειά του, π.χ. μ΄ ένα έμβολο, οποιαδήποτε πίεση τότε θα διαπιστώσουμε ότι οι δυνάμεις που θ΄ ασκεί το υγρό σε όποιοδήποτε σημείο των εσωτερικών τοιχωμάτων ή του πυθμένα του δοχείου, ανεξάρτητα της βαρύτητας, θα παρουσιάζουν παντού την ίδια τιμή.

 Προφανές λοιπόν είναι ότι η πίεση αυτή, που προέρχεται από εξωτερικές δυνάμεις π.χ. ατμοσφαιρική πίεση ή, πίεση από πεπιεσμένο αέρα ή, πίεση που ασκεί ένα έμβολο στην επιφάνεια ενός υγρού, είναι τελείως ανεξάρτητη των δυνάμεων της γήινης βαρύτητας. Αυτό σε αντιδιαστολή με την υδροστατική πίεση που εξαρτάται από την βαρύτητα.
Εφαρμογές της Αρχής του Πασκάλ αποτελούν η πλήρωση με αέρα ενός τροχού ή μπαλονιού, το υδραυλικό πιεστήριο, οι υδραυλικοί γερανοί, τα υδραυλικά φρένα και πλείστα άλλα.
Η Αρχή του Πασκάλ αφορά όλα τα ρευστά.






Blaise Pascal (1623 - 1662)
Γεννήθηκε στο Clermont-Ferrand και πέθανε στο Παρίσι. Έδειξε ήδη σε μικρή ηλικία χαρακτηριστικά μαθηματικής ιδιοφυΐας. Στα 16 του χρόνια ανέπτυξε σε μια πραγματεία περί κωνικών τομών το θεώρημα που φέρει το όνομά του. Από το 1641 εργάστηκε για την κατασκευή μιας αριθμομηχανής για πρόσθεση και αφαίρεση που ονομάστηκε «Πασκαλίνα», το 1647 ανακάλυψε την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων και τη χρησιμότητα τού βαρομέτρου για τη μέτρηση του ύψους. Με την έργασία του «Traite du triangle arithmetique» που δημοσιεύτηκε το 1654 έθεσε τις βάσεις για τη Συνδυαστική και το Λογισμό των Πιθανοτήτων.




Το 1654 είχε ο Πασκάλ την εμπειρία ενός μυστικιστικού οράματος, οπότε απεσύρθη στο μοναστήρι Port Royal και αφοσιώθηκε, παράλληλα με τις μαθηματικές εργασίες του, σε  θεολογικές και φιλοσοφικές μελέτες. Το σύγγραμμά του «Επαρχιακές επιστολές για την ηθική διδασκαλία των Ιησουητών» (1656-57), με το οποίο παίρνει θέση στην αντιδικία μεταξύ της κορυφής της καθολικής εκκλησίας και του θρησκευτικού κινήματος  του Γιανσενισμού, αποτελεί λογοτεχνικό αποκορύφωμα της γαλλικής πρόζας εκείνης της εποχής. Το έργο του για υποστήριξη του Χριστιανισμού, «Pensees», στο οποίο ο Πασκάλ εργαζόταν από το 1654 και με το οποίο προσπάθησε να μεταφέρει τους νόμους της Λογικής στη χριστιανική θρησκεία, έμεινε ανολοκλήρωτο, πιθανόν λόγω της σταδιακά επιδεινούμενης υγείας τού μεγάλου φιλοσόφου. 'Αλλοι βέβαια εκτιμούν (B.Russell) ότι το εγχείρημα αυτό απέτυχε λόγω των αδιεξόδων που συνάντησε ο Πασκάλ στην επιχειρηματολογία του.

Ο Πασκάλ εναντιώθηκε στην αντίληψη του Καρτέσιου για την επιστήμη και τον κόσμο και θεωρούσε ότι η άπειρη απόσταση μεταξύ θεού και ανθρώπου μπορεί να ξεπεραστεί μόνο με θεϊκή χάρη.

Η Αρχή του Πασκάλ

Μέσα σε υγρό, το οποίο βρίσκεται σε ηρεμία και δεν μπορεί να συμπιεστεί, κάθε μεταβολή της πίεσης που ασκείται σ' αυτό διαδίδεται σε ολόκληρη τη μάζα του προς κάθε κατεύθυνση. 

Αν δηλαδή, σ΄ ένα ανοικτό δοχείο γεμάτο με υγρό εφαρμόσουμε σε όλη την ελεύθερη επιφάνειά του, π.χ. μ΄ ένα έμβολο, οποιαδήποτε πίεση τότε θα διαπιστώσουμε ότι οι δυνάμεις που θ΄ ασκεί το υγρό σε οποιοδήποτε σημείο των εσωτερικών τοιχωμάτων ή του πυθμένα του δοχείου, ανεξάρτητα της βαρύτητας, θα παρουσιάζουν παντού την ίδια τιμή. Προφανές λοιπόν είναι ότι η πίεση αυτή, που προέρχεται από εξωτερικές δυνάμεις π.χ. ατμοσφαιρική πίεση ή, πίεση από πεπιεσμένο αέρα ή, πίεση που ασκεί ένα έμβολο στην επιφάνεια ενός υγρού, είναι τελείως ανεξάρτητη των δυνάμεων της γήινης βαρύτητας. Αυτό σε αντιδιαστολή με την υδροστατική πίεση που εξαρτάται από την βαρύτητα.

*************

Αν ασκήσουμε δύναμη 20Ν (εμβαδό =1cm2) η πίεση είναι 20Ν/cm2. Αυτή η πίεση μεταδίδεται αμετάβλητη στον κύλινδρο. Αφού η επιφάνεια του κυλίνδρου είναι 30 cm2 θα ασκηθεί στο μεγάλο έμβολο δύναμη 600Ν. 

Η λεγόμενη Θεμελιώδης εξίσωση υδροστατικής ή θεμελιώδης Νόμος υδροστατικής είναι ο συνδυασμός της υδροστατικής πίεσης και εκείνης επί της Αρχής του Πασκάλ όπως παράλληλα παρατηρούνται στη φύση.

Όπως είναι γνωστό η υδροστατική πίεση που παρατηρείται επί ενός σημείου εντός της μάζας ενός υγρού είναι αποτέλεσμα ακριβώς της βαρύτητας και εξαρτάται από το στατικό ύψος του υπ΄ όψη σημείου. Παράλληλα όμως μ΄ αυτή τη πίεση, στη Φύση παρατηρείται και εκείνη επί της Αρχής του Πασκάλ όπου η οποιασδήποτε εξωτερική πίεση κατανέμεται ισόποσα εντός του υγρού με την προϋπόθεση ότι δεν επιδρά το πεδίο της γήινης βαρύτητας.

Έτσι εκ του συνδυασμού των παραπάνω προκύπτει ότι η συνολική πίεση (ρσ) επί ενός σημείου (ή επιφάνειας), που βρίσκεται εντός της μάζας ενός υγρού, στην επιφάνεια του οποίου εφαρμόζεται εξωτερική πίεση, και το οποίο υπόκειται στις δυνάμεις της γήινης βαρύτητας θα ισούται με το άθροισμα της επί της επιφάνειας του υγρού ασκούμενης πίεσης (ρε) και της αντίστοιχης εκδηλούμενης υδροστατικής πίεσης (ρυ) του θεωρουμένου σημείου. Τούτο παρουσιάζεται από τη μαθηματική σχέση:

ρσ = ρε + ρυ, και επειδή ρυ = h γ, συνεπάγεται ότι:
ρσ = ρε + (h γ), (όπου h = στατικό ύψος και γ = ειδικό βάρος του υγρού).

Example: Hydraulic Lift

Εφαρμογές της Αρχής του Πασκάλ

Το γέμισμα με αέρα ενός τροχού ή μπαλονιού, το υδραυλικό πιεστήριο, οι υδραυλικοί γερανοί, τα υδραυλικά φρένα και πολλά άλλα.

Η Αρχή του Πασκάλ αφορά όλα τα ρευστά.

Υδραυλικός Ανυψωτής

ΥΔΡΑΥΛΙΚΑ ΦΡΕΝΑ

Στατικό ύψος ή υδροστατικό ύψος ή θλιπτικό ύψος (h) 

ενός σημείου που βρίσκεται μέσα σε μια υγρή μάζα χαρακτηρίζεται η κατακόρυφος απόσταση του σημείου αυτού από την ελεύθερη επιφάνεια της υγρής μάζας. Τούτο αποτελεί και το μέτρο της υδροστατικής πίεσης που ασκείται από την (ύπερθεν) μάζα στη θέση του σημείου αυτού.

Αν καλέσουμε γ το ειδικό βάρος του υγρού σε τόνους ανά κυβικό μέτρο (t/m3) τότε θα έχουμε τη σχέση ότι η δύναμη Ρ, δηλαδή το βάρος της στήλης του υγρού που βρίσκεται πάνω από το σημείο (επιφάνεια) S θ΄αποτελεί το γινόμενο της επιφάνειας, του στατικού ύψους και του ειδικού βάρους του υγρού. Η σχέση αυτή αποδίδεται με τη μαθηματική παράσταση:

Ρ = S h γ

Οπότε ο γνωστός τύπος της υδροστατικής ρυ = Ρ / S γίνεται: ρυ = (S h γ) / S, τούτο απλοποιούμενο: ρυ = h γ, και συνεπώς h = ρυ / γ.

Σημειώνεται πως αν η πίεση ρυ μετριέται σε t/m2, το δε ειδικό βάρος γ σε t/m3, έπεται ότι το στατικό ύψος h θα μετριέται σε μέτρα (m), κατά τη σχέση: t/m2 / t/m3 = m (μέτρα).

Αρχή του Αρχιμήδη

Η Αρχή του Αρχιμήδη καθορίζει ότι: "Κάθε σώμα βυθισμένο σε ρευστό δέχεται άνωση ίση με το βάρος του ρευστού που εκτοπίζει."

Μαθηματικά η Άνωση (Α) μπορεί να εκφρασθεί με τον τύπο: Α = ρ g V, όπου:

ρ: πυκνότητα ρευστού

g: επιτάχυνση βαρύτητας (9,81m/s^2)

V: όγκος βυθισμένου σώματος

Όταν το βάρος ενός σώματος είναι μεγαλύτερο από την άνωση που αυτό δέχεται τότε θα βυθιστεί, ενώ σε αντίθετη περίπτωση θα επιπλέει.